ସେଟ୍ ଓ ଏହାର ଉପାଦାନ

ସେଟ୍ ଓ ଏହାର ଉପାଦାନ (Sets and their elements)

ଉପକ୍ରମଣିକା

ଗଣିତଶାସ୍ତ୍ରରେ ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ଵ ଏକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଗ, ଯାହା ବିଖ୍ୟାତ ଜର୍ମାନ ଗଣିତଜ୍ଞ ଜର୍ଜ କ୍ୟାଣ୍ଟର (Georg Cantor, 1845-1918) ଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିଲା। ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ଵ ବିନା ଜ୍ୟାମିତି, ବୀଜଗଣିତ, କଳନ (Calculus) ଇତ୍ୟାଦି ଗଣିତର ବିଭିନ୍ନ ବିଭାଗ ନିଷ୍ପ୍ରଭ ହୋଇଥାଏ। ଏହି ବିଭାଗ ଗାଣିତିକ ତତ୍ତ୍ଵଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳ ଓ ସାବଲୀଳ ଭାବରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ। ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀରେ ତୁମେମାନେ ସେଟ୍ ଓ ଏହାର ଉପାଦାନ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ସୂଚନା ପାଇଛ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ଏହି ଧାରଣାକୁ ଅଧିକ ସ୍ପଷ୍ଟ କରିବା। [[1]]

ସେଟ୍ ଓ ଏହାର ଉପାଦାନ

ସେଟ୍ ଓ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ ଏ ଦୁଇଟିର କୌଣସି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଜ୍ଞା ନାହିଁ। ମାତ୍ର ଆମେ ଏକ ସେଟ୍ $S$ ଓ ଏକ ବସ୍ତୁ $x$ ଦିଆଗଲେ କହି ପାରିବା ଯେ, $x, S$ ସେଟ୍‌ର ଏକ ଉପାଦାନ କିମ୍ବା $x, S$ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ ନୁହେଁ।

• ଯଦି $x, S$ ସେଟ୍‌ର ଏକ ଉପାଦାନ ହୁଏ, ତେବେ ଆମେ ଏହାକୁ $x \in S$ ଭାବରେ ଲେଖୁ।
• ଯଦି $x, S$ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ ନୁହେଁ, ତେବେ ଆମେ ଏହାକୁ $x otin S$ ଭାବରେ ଲେଖୁ। [[1]]

ସେଟ୍‌କୁ ପ୍ରକାଶ କରିବା ପ୍ରଣାଳୀ

ସେଟ୍‌କୁ ପ୍ରକାଶ କରିବା ପାଇଁ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରଣାଳୀ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଥାଏ:

1. ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀ (Tabular or Roster Method): ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ କୁଟୀଳବନ୍ଧନୀ {} ମଧ୍ୟରେ କମା ଦେଇ ଲେଖାଯାଏ। ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ନୁହେଁ ଏବଂ ଏକ ଉପାଦାନକୁ ଏକାଧିକ ଥର ଲେଖିଲେ ନୂତନ ସେଟ୍ ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ ନାହିଁ।

   • ଉଦାହରଣ: $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$ [[3]]

2. ସୂତ୍ର (ସେଟ୍ ଗଠନକାରୀ) ପ୍ରଣାଳୀ (Set-builder Method): ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ଉପାଦାନମାନଙ୍କର ସାଧାରଣ ଧର୍ମକୁ ଭିତ୍ତିକରି ସେଟ୍‌କୁ ଲେଖାଯାଏ। ଏହାକୁ {x | x ର ଧର୍ମ} ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ, ଯେଉଁଠାରେ | ଚିହ୍ନ 'ଯେପରିକି' ବା 'such that' ଅର୍ଥ ବୁଝାଏ।

   • ଉଦାହରଣ: $S = \{x | x ext{ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ଯା ଓ } 1 \le x \le 5\}$, $N = \{x | x ext{ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ଯା}\}$ [[3]]

ସେଟ୍‌ର ପ୍ରକାରଭେଦ

ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଭିତ୍ତିକରି ସେଟ୍‌କୁ ମୁଖ୍ୟତଃ ତିନି ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଏ:

1. ସସୀମ ଓ ଅସୀମ ସେଟ୍ (Finite and Infinite sets):

   • ଯଦି କୌଣସି ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣିଲେ ଗଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ପରିସମାପ୍ତି ଘଟେ, ତେବେ ସେହି ସେଟ୍‌ଟି ଏକ ସସୀମ ସେଟ୍। ଏକ ସସୀମ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟାକୁ $|A|$ କିମ୍ବା $n(A)$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚାଯାଇଥାଏ।
   • ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ, ଯଦି ଏହି ଗଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ପରିସମାପ୍ତି ନ ଘଟେ, ତେବେ ଉକ୍ତ ସେଟ୍‌ଟି ଏକ ଅସୀମ ସେଟ୍।
   • ଉଦାହରଣ: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ଏକ ସସୀମ ସେଟ୍, $n(A) = 5$। ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ସେଟ୍ $N$ ଏକ ଅସୀମ ସେଟ୍। [[3]]

2. ଶୂନ୍ଯ ସେଟ୍ (Empty or Null Set): ଯଦି କୌଣସି ସେଟ୍ ଉପାଦାନ ବିହୀନ, ତେବେ ସେହି ସେଟ୍‌କୁ ଶୂନ୍ଯ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ। ଶୂନ୍ଯ ସେଟ୍‌କୁ $\emptyset$ ବା {} ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

   • ଉଦାହରଣ: $A = \{x | x ext{ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଓ } x > 2\}$ ଏକ ଶୂନ୍ଯ ସେଟ୍। [[3]]

ସେଟ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ

1. ଉପସେଟ୍ (Subset): $A$ ଓ $B$ ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଯଦି $A$ ସେଟ୍‌ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ $B$ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ $A$ କୁ $B$ ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍ କୁହାଯାଏ। ଏହାକୁ $A \subseteq B$ ବା $B \supseteq A$ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ।

   • $A \subseteq B$ ଅର୍ଥ ହେଉଛି: $x \in A \implies x \in B$।
   • ମନେରଖ: (a) $\emptyset \subseteq A$ (ଶୂନ୍ଯ ସେଟ୍ ଯେକୌଣସି ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍) (b) $A \subseteq A$ (ଯେକୌଣସି ସେଟ୍ ତା' ନିଜର ଉପସେଟ୍)। [[3]]

2. ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ର ସମାନତା (Equality of two sets): $A$ ଓ $B$ ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟରେ ଯଦି $A \subseteq B$ ଓ $B \subseteq A$ ହୁଏ, ତେବେ $A$ ଓ $B$ ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟ ସମାନ ଅଟନ୍ତି। ଅର୍ଥାତ୍ $A = B$।

   • ମନେରଖ: $\{1, 2, 3, 4\}$ ଓ $\{4, 2, 1, 3\}$ ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ। ସେହିପରି $\{1, 1, 2, 3, 4\}$ ଓ $\{1, 2, 3, 4\}$ ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ। ଅର୍ଥାତ୍ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କଲେ କିମ୍ବା ଏକ ଉପାଦାନକୁ ଏକାଧିକ ଥର ଲେଖିଲେ ନୂତନ ସେଟ୍ ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ ନାହିଁ। [[3]]

ଉଦାହରଣ

ଉଦାହରଣ 1: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସେଟ୍‌କୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ: $A = \{x | x ext{ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଓ } x^2 < 25\}$

ସମାଧାନ: $x$ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥିବାରୁ $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$। $x^2 < 25$ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ: $1^2 = 1 < 25$ $2^2 = 4 < 25$ $3^2 = 9 < 25$ $4^2 = 16 < 25$ $5^2 = 25 ot< 25$ ତେଣୁ, $x$ ର ମାନ $1, 2, 3, 4$ ହୋଇପାରିବ। $A = \{1, 2, 3, 4\}$

ଉଦାହରଣ 2: ଯଦି $P = \{a, b, c, d\}$ ଏବଂ $Q = \{a, c\}$, ତେବେ $Q, P$ ର ଏକ ଉପସେଟ୍ କି? $P$ ଓ $Q$ ସମାନ ସେଟ୍ କି?

ସମାଧାନ: $Q$ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $a$ ଓ $c$। $P$ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $a, b, c, d$। $Q$ ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ $P$ ରେ ଅଛି ($a \in P, c \in P$)। ତେଣୁ, $Q \subseteq P$।

$P$ ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ $Q$ ରେ ନାହିଁ (ଯଥା $b otin Q$)। ତେଣୁ, $P ot\subseteq Q$।

ଯେହେତୁ $P ot\subseteq Q$, ତେଣୁ $P$ ଓ $Q$ ସମାନ ସେଟ୍ ନୁହଁନ୍ତି ($P e Q$)।