ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଓ ଉପସେଟ୍

ପୂର୍ବପାଠର ପର୍ଯ୍ୟାଲୋଚନା (Review of Previous Lesson)

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀରେ ତୁମେମାନେ ସେଟ୍‌, ଏହାର ଉପାଦାନ, ସସୀମ ଓ ଅସୀମ ସେଟ୍‌, ଶୂନ୍ଯ ସେଟ୍‌ ଏବଂ ଉପସେଟ୍‌ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ସୂଚନା ପାଇଛ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ ଓ ଉପସେଟ୍‌ ଧାରଣାକୁ ଅଧିକ ବିସ୍ତୃତ ଭାବରେ ଆଲୋଚନା କରିବା। [3]

ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ (Universal Set)

ଆମେ କୌଣସି ଏକ ଆଲୋଚନା କଲାବେଳେ ବିଭିନ୍ନ ସେଟ୍‌ ଓ ବିଭିନ୍ନ ଉପାଦାନ ଇତ୍ୟାଦି ସହ ସଂସ୍ପର୍ଶରେ ଆସିଥାଉ। ଏହି ସମସ୍ତ ସେଟ୍‌ ଓ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଏକ ବୃହତ୍ତର ସେଟ୍‌ର ଅଂଶ ହୋଇଥାନ୍ତି। [2]

ସଂଜ୍ଞା: ଆମର ଆଲୋଚନାର ପରିସର ମଧ୍ଯରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସେଟ୍‌ ଯଦି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସେଟ୍‌ 'E' ର ଉପସେଟ୍‌ କିମ୍ବା ଯେକୌଣସି ବସ୍ତୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସେଟ୍‌ 'E' ର ଉପାଦାନ ହୁଏ, ତେବେ ସେହି ସେଟ୍‌କୁ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ (Universal Set) କୁହାଯାଏ। [1]

ସଙ୍କେତ: ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌କୁ ସାଧାରଣତଃ 'E' (କିମ୍ବା 'U') ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। [1]

ଭେନ୍‌ ଚିତ୍ରରେ ପ୍ରକାଶ: ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ E କୁ ଭେନ୍‌ ଚିତ୍ରରେ ଏକ ଆୟତ ଚିତ୍ର (rectangle) ଦ୍ଵାରା ଦର୍ଶାଯାଏ ଏବଂ ଏହାର ଉପସେଟ୍‌ମାନଙ୍କୁ ଆବଦ୍ଧ ଚିତ୍ର (closed figures) ଦ୍ଵାରା ଦର୍ଶାଯାଏ। [1]

ଉଦାହରଣ-1: ମନେକର N = ଗଣନ ସଂଖ୍ଯାମାନଙ୍କ ସେଟ୍‌ ~ = N* ବା W = ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ଯା ସେଟ୍‌, Z = ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌। ଏଠାରେ ଆମେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ (Q) କୁ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ E ଭାବରେ ନେଇ ପାରିବା। କାରଣ Q ର ଉପରୋକ୍ତ ସେଟ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଉପସେଟ୍‌ ଅଟନ୍ତି। ଅର୍ଥାତ୍‌ $N \subseteq Q$, $W \subseteq Q$, $Z \subseteq Q$। [1]

ଉପସେଟ୍ (Subset)

ସେଟ୍‌ ତତ୍ତ୍ୱରେ ଉପସେଟ୍‌ ଏକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧାରଣା।

ସଂଜ୍ଞା: A ଓ B ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ ମଧ୍ଯରେ, ଯଦି A ସେଟ୍‌ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ B ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ A କୁ B ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍‌ କୁହାଯାଏ। [2]

ସଙ୍କେତ: ଏହାକୁ $A \subseteq B$ (A, B ର ଉପସେଟ୍‌) ବା $B \supseteq A$ (B, A ର ଅଧିସେଟ୍‌) ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ। [2] $A \subseteq B$ ଅର୍ଥ ହେଉଛି: ଯଦି $x \in A$ ତେବେ $x \in B$ ହେବ। [2]

ଉପସେଟ୍‌ର ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ତଥ୍ୟ:

• ଶୂନ୍ଯ ସେଟ୍‌ ($\phi$) ଯେକୌଣସି ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍‌ ଅଟେ। ଅର୍ଥାତ୍‌ $\phi \subseteq A$। [2]
• ଯେକୌଣସି ସେଟ୍‌ ତା' ନିଜର ଉପସେଟ୍‌ ଅଟେ। ଅର୍ଥାତ୍‌ $A \subseteq A$। [2]

ଉଦାହରଣ-2: ମନେକର E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ଏକ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌। ଏବଂ A = {2, 4, 6, 8} ଓ B = {1, 3, 5} ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌। ଏଠାରେ, A ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ E ରେ ଅଛି। ତେଣୁ $A \subseteq E$। B ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ E ରେ ଅଛି। ତେଣୁ $B \subseteq E$। କିନ୍ତୁ A ର କୌଣସି ଉପାଦାନ B ରେ ନାହିଁ, କିମ୍ବା B ର କୌଣସି ଉପାଦାନ A ରେ ନାହିଁ। ତେଣୁ A, B ର ଉପସେଟ୍‌ ନୁହେଁ ($A \not\subseteq B$) ଏବଂ B, A ର ଉପସେଟ୍‌ ନୁହେଁ ($B \not\subseteq A$)।

ଉଦାହରଣ-3: ଯଦି $E = \{x | x \in N, x < 10\}$ ଏବଂ $A = \{x | x \in N, 1 < x < 5\}$। ପ୍ରଥମେ ସେଟ୍‌ଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖିବା: [2] $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ $A = \{2, 3, 4\}$ ଏଠାରେ, A ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ E ରେ ଅଛି। ତେଣୁ $A \subseteq E$। ଏହି ଉଦାହରଣରେ E ହେଉଛି ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ ଏବଂ A ହେଉଛି E ର ଏକ ଉପସେଟ୍‌।