ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍ ର ପ୍ରୟୋଗ

1.4 ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା (Set Operations)

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀରେ ଆମେ ସେଟ୍ ଓ ଏହାର ଉପାଦାନ, ସେଟ୍‌ର ପ୍ରକାରଭେଦ ତଥା ଉପସେଟ୍ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛେ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ଦୁଇ ବା ତତୋଧିକ ସେଟ୍‌ ମଧ୍ୟରେ ଘଟୁଥିବା ତିନିଗୋଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଯଥା: ସଂଯୋଗ (Union), ଛେଦ (Intersection) ଓ ଅନ୍ତର (Difference) ଉପରେ ବିସ୍ତୃତ ଭାବରେ ଆଲୋଚନା କରିବା। ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରତ୍ୟେକେ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵୈତ ପ୍ରକ୍ରିୟା (binary operation) ଅଟନ୍ତି। [1]

(i) ସଂଯୋଗ (Union)

ସଂଜ୍ଞା: A ଓ B ସେଟ୍‌ର ସମସ୍ତ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍‌କୁ A ଓ B ର ସଂଯୋଗ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହା $A \cup B$ ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହୁଏ। [1]

ଅର୍ଥାତ୍, $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ବା } x \in B\}$

ଏଠାରେ $x \in A \text{ ବା } x \in B$ ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି $x$ ଉପାଦାନଟି A ରେ କିମ୍ବା B ରେ କିମ୍ବା ଉଭୟରେ ରହିପାରେ। [1]

ଭେନ୍ ଚିତ୍ର:

(ଚିତ୍ର 1.2: $A \cup B$ ସେଟ୍‌କୁ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଇଛି।)

ସଂଯୋଗ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେଗୋଟି ତଥ୍ୟ: [5]

• ଯଦି $A \subseteq B$ ହୁଏ, ତେବେ $A \cup B = B$ ହେବ। ପୁନଶ୍ଚ ଯଦି $B \subseteq A$ ହୁଏ, ତେବେ $A \cup B = A$ ହେବ।
• $A \cup A = A$
• $A \cup \emptyset = A$
• $A \subseteq A \cup B$ ଏବଂ $B \subseteq A \cup B$

ସଂଯୋଗର ନିୟମ: [5]

• କ୍ରମବିନିମୟୀ (Commutative): $A \cup B = B \cup A$
• ସହଯୋଗୀ (Associative): $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

ଉଦାହରଣ-1: [5] ମନେକର $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ଓ $B = \{2, 4, 6, 8\}$ ହେଲେ, $A \cup B$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$

(ii) ଛେଦ (Intersection)

ସଂଜ୍ଞା: A ଓ B ସେଟ୍‌ ଦ୍ଵୟରେ ଥିବା ଉପାଦାନମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଉଭୟ A ଓ B ର ଉପାଦାନ ହୋଇଥିବେ, ସେହିମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍‌କୁ A ଓ B ର ଛେଦ କୁହାଯାଏ। A ଓ B ର ଛେଦ $A \cap B$ ସଂକେତ ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହୁଏ। [4]

ଅର୍ଥାତ୍, $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ ଓ } x \in B\}$

ଏଠାରେ $x \in A \text{ ଓ } x \in B$ ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି $x$, A ଓ B ର ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ଅର୍ଥାତ୍ $x$, A ଓ B ଉଭୟ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ। [4]

ଭେନ୍ ଚିତ୍ର:

(ଚିତ୍ର 1.3: $A \cap B$ ସେଟ୍‌କୁ ସମାନ୍ତର ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ଵାରା ସୂଚାଯାଇଛି।)

ଅଣଛେଦୀ ସେଟ୍‌ (Disjoint Set): ଯଦି A ଓ B ସେଟ୍‌ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ନ ଥାଏ, ତେବେ A ଓ B ସେଟ୍‌ଦ୍ଵୟକୁ ଅଣଛେଦୀ ସେଟ୍‌ କୁହାଯାଏ। ଅର୍ଥାତ୍ $A \cap B = \emptyset$। [4]

ଛେଦ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେଗୋଟି ତଥ୍ୟ: [4]

• ଯଦି $A \subseteq B$ ହୁଏ, ତେବେ $A \cap B = A$ ଏବଂ ଯଦି $B \subseteq A$ ହୁଏ, ତେବେ $A \cap B = B$।
• $A \cap A = A$
• $A \cap \emptyset = \emptyset$
• $A \cap B \subseteq A$ ଏବଂ $A \cap B \subseteq B$

ଛେଦର ନିୟମ: [4]

• କ୍ରମବିନିମୟୀ (Commutative): $A \cap B = B \cap A$
• ସହଯୋଗୀ (Associative): $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

ଉଦାହରଣ-2: [4] ମନେକର $A = \{1, 2, 3\}$ ଓ $B = \{1, 3, 5\}$ ହେଲେ, $A \cap B$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ: $A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 3, 5\} = \{1, 3\}$

(iii) ଅନ୍ତର (Difference)

ସଂଜ୍ଞା: ଯଦି A ଓ B ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌, ତେବେ A ସେଟ୍‌ର ଯେଉଁ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ B ରେ ନାହାନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍‌କୁ A ଅନ୍ତର B (A difference B) କୁହାଯାଏ ଏବଂ $A - B$ ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। [2]

ଅର୍ଥାତ୍, $A - B = \{x \mid x \in A \text{ ଓ } x \notin B\}$

ସେହିପରି, B ସେଟ୍‌ର ଯେଉଁ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ A ରେ ନାହାନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କୁ ନେଇ $B - A$ ସେଟ୍‌ଟି ଗଠିତ। [2]

ଅର୍ଥାତ୍, $B - A = \{x \mid x \in B \text{ ଓ } x \notin A\}$

ଭେନ୍ ଚିତ୍ର:

(ଚିତ୍ର 1.4: $A - B$ ସେଟ୍‌କୁ ରେଖାଖଣ୍ଡମାନଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ଚିତ୍ରିତ କରାଯାଇଛି।)

ସେଟ୍ ଅନ୍ତର ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ତଥ୍ୟ: [2]

• କୌଣସି ଏକ ସେଟ୍‌ A ପାଇଁ $A - A = \emptyset$।
• ସେଟ୍‌ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି କ୍ରମବିନିମୟୀ ନୁହେଁ। ଅର୍ଥାତ୍ $A - B \neq B - A$। [8]
• ସେଟ୍‌ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି ସହଯୋଗୀ ନୁହେଁ। ଅର୍ଥାତ୍ $A - (B - C) \neq (A - B) - C$। [8]

ଉଦାହରଣ-3: [2] ମନେକର $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ଓ $B = \{3, 4, 5, 6\}$ ହେଲେ, $A - B$ ଓ $B - A$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ: $A - B = \{1, 2, 3, 4\} - \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2\}$ $B - A = \{3, 4, 5, 6\} - \{1, 2, 3, 4\} = \{5, 6\}$