ପରିପୂରକ ଏବଂ ଡି ମର୍ଗାନ ନିୟମ

ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ (Complement of a Set)

ଆମେ ଯେଉଁ ସେଟ୍‌ଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଆଲୋଚନା କରୁଛେ, ସେମାନେ ସମସ୍ତେ ଗୋଟିଏ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବଡ଼ ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍‌ ହୋଇଥାନ୍ତି। ଏହି ବଡ଼ ସେଟ୍‌କୁ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ (Universal Set) କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହାକୁ ପ୍ରାୟତଃ $E$ ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। [ [4] ]

ସଂଜ୍ଞା: ଯଦି $E$ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ ଓ $A$ ଏହାର ଏକ ଉପସେଟ୍‌ ତେବେ, $E$ ସେଟ୍ର ଯେଉଁ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ $A$ ସେଟ୍‌ରେ ନାହାନ୍ତି ସେହିମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍‌କୁ $A$ ସେଟ୍‌ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ କୁହାଯାଏ ଓ ଏହା $A'$ ସଙ୍କେତ ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହୋଇଥାଏ। ଅର୍ଥାତ୍ $A' = E - A = \{x | x \in E ext{ ଓ } x otin A\}$। [ [3] ]

ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେଗୋଟି ତଥ୍ୟ: [ [1] ]

1. $A$ ଓ ଏହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ ($A'$) ସର୍ବଦା ଅଣଛେଦୀ। ଅର୍ଥାତ୍ $A \cap A' = \phi$
2. $A$ ଓ $A'$ ର ସଂଯୋଗ ସେଟ୍‌ ହେଉଛି ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ ($E$)। ଅର୍ଥାତ୍ $A \cup A' = E$
3. $A$ ଗୋଟିଏ ସେଟ୍‌ ହେଲେ, $A$ ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ $A'$ ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ $A$ ଅଟେ। ଅର୍ଥାତ୍ $(A')' = A$
4. $\phi' = E$ (ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍‌ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ $E$)
5. $E' = \phi$ (ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍‌ $\phi$)

ଡି ମର୍ଗାନ ନିୟମ (De Morgan's Laws)

ମନେକର $E$ ଏକ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ ଓ $A, B$ ଏହାର ଉପସେଟ୍‌। ଡି ମର୍ଗାନ ନିୟମ ଦୁଇଟି ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରକାରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ: [ [1] ]

1. $(A \cup B)' = A' \cap B'$ ଏହି ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ର ସଂଯୋଗର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌, ସେହି ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ର ଛେଦ ସହିତ ସମାନ।

2. $(A \cap B)' = A' \cup B'$ ଏହି ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ର ଛେଦର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌, ସେହି ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ର ସଂଯୋଗ ସହିତ ସମାନ।

ମନେରଖ: ପରିପୂରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା (Complementation) ହେତୁ ସଂଯୋଗ, ଛେଦରେ ଓ ଛେଦ, ସଂଯୋଗରେ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୁଏ। [ [1] ]

ଭେନ ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ମଧ୍ୟ ଏହି ନିୟମଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କରାଯାଇପାରେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଚିତ୍ର 1.8(a) ରେ $(A \cup B)'$ ସେଟ୍‌ଟି କେତେକ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହୋଇଛି। ଚିତ୍ର 1.8(b) ରେ $A'$ ଓ $B'$ ସେଟ୍‌ଦ୍ଵୟକୁ ଉଭୟ ଲମ୍ବ ଓ ଆନୁଭୂମିକ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ଵାରା ଦର୍ଶାଯାଇଛି। ଯାହା ପରସ୍ପରଚ୍ଛେଦୀ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ଵାରା $A' \cap B'$ ସୂଚିତ ହୋଇଛି, ଯାହା ଚିତ୍ର 1.8(a) ସହ ସମାନ। ସୁତରାଂ $(A \cup B)' = A' \cap B'$। [ [1] ]

ଉଦାହରଣ- 14: $E = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, $A = \{1,2,3,4,5\}$ ଏବଂ $B = \{4,5,6,7\}$ ନେଇ ଡି ମର୍ଗାନଙ୍କ ପ୍ରଥମ ନିୟମର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର। [ [2] ]

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ନିୟମ: $(A \cup B)' = A' \cap B'$

ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ: $A \cup B = \{1,2,3,4,5\} \cup \{4,5,6,7\} = \{1,2,3,4,5,6,7\}$ $(A \cup B)' = E - (A \cup B) = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} - \{1,2,3,4,5,6,7\} = \{8,9\}$ ... (i)

ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱ: $A' = E - A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} - \{1,2,3,4,5\} = \{6,7,8,9\}$ $B' = E - B = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} - \{4,5,6,7\} = \{1,2,3,8,9\}$ $A' \cap B' = \{6,7,8,9\} \cap \{1,2,3,8,9\} = \{8,9\}$ ... (ii)

(i) ଓ (ii) ରୁ, $(A \cup B)' = A' \cap B'$ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା। ଅନୁରୂପ ଭାବେ ଡି ମର୍ଗାନଙ୍କ ଦ୍ୱିତୀୟ ନିୟମର ସତ୍ୟତା ମଧ୍ୟ ପ୍ରତିପାଦନ କରାଯାଇ ପାରିବ।