କାର୍ଟେଜିଆନ ଗୁଣନଫଳ

ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ର କାର୍ଟେଜିଆନ ଗୁଣନଫଳ (Cartesian Product of Two Sets)

ସେଟ୍‌ ତତ୍ତ୍ୱରେ, ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ର କାର୍ଟେଜିଆନ ଗୁଣନଫଳ ଏକ ନୂତନ ପ୍ରକାରର ସେଟ୍‌ ସୃଷ୍ଟି କରେ ଯାହା କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି (Ordered Pair) ଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗଠିତ। ଏହି ଧାରଣା ସମତଳ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି (Coordinate Geometry) ରେ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁକୁ ଏହାର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(x,y)$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚାଇବା ସହିତ ଜଡ଼ିତ। [[1]]

କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି (Ordered Pair)

ଏକ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି ହେଉଛି ଦୁଇଟି ଉପାଦାନର ଏକ ସଂଗ୍ରହ ଯେଉଁଥିରେ ସେମାନଙ୍କର କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ। ଯଦି $x$ ଓ $y$ ଦୁଇଟି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା, ତେବେ $(x,y)$ ଏକ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି ଯାହା ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସମତଳରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁକୁ ସୂଚାଏ। [[1]]

ମନେରଖିବାକୁ ହେବ ଯେ:

• $(x,y)$ ଏବଂ $(y,x)$ ସାଧାରଣତଃ ଭିନ୍ନ ଅଟନ୍ତି, ଯଦି $x \ne y$ ହୁଏ।
• ଦୁଇଟି କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି $(a,b)$ ଏବଂ $(c,d)$ ସମାନ ହେବେ ଯଦି ଓ କେବଳ ଯଦି $a=c$ ଏବଂ $b=d$ ହୁଏ। ଏହି ନିୟମଟି କାର୍ଟେଜିଆନ ଗୁଣନଫଳ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମସ୍ୟା ସମାଧାନରେ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ। [[4]]

ସଂଜ୍ଞା (Definition)

ଯଦି $A$ ଏବଂ $B$ ଦୁଇଟି ଅଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍‌ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ $A$ ଏବଂ $B$ ର କାର୍ଟେଜିଆନ ଗୁଣନଫଳକୁ $A \times B$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। ଏହା ସମସ୍ତ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି $(a,b)$ ର ସେଟ୍‌ ଅଟେ, ଯେଉଁଠାରେ $a \in A$ ଏବଂ $b \in B$।

ଗାଣିତିକ ଭାବରେ, ଏହାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ: $A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A \text{ ଏବଂ } b \in B \}$

ଯଦି $A$ କିମ୍ବା $B$ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍‌ ($\phi$) ହୁଏ, ତେବେ $A \times B$ ମଧ୍ୟ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍‌ ହେବ। ଅର୍ଥାତ୍ $A \times \phi = \phi$ ଏବଂ $\phi \times B = \phi$।

ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା (Cardinality)

ଯଦି $A$ ଏବଂ $B$ ସସୀମ ସେଟ୍‌ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ $A \times B$ ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା, $A$ ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $B$ ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନଫଳ ସହିତ ସମାନ ହୁଏ। ଯଦି $|A|$ ହେଉଛି $A$ ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $|B|$ ହେଉଛି $B$ ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା, ତେବେ: $|A \times B| = |A| \times |B|$ ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି $|A|=3$ ହୁଏ, ତେବେ $|A \times A| = 3 \times 3 = 9$ ହେବ। [[4]]

ଉଦାହରଣ (Examples)

ଉଦାହରଣ 1: ଯଦି $A = \{1, 2\}$ ଏବଂ $B = \{a, b, c\}$ ହୁଏ, ତେବେ $A \times B$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ: $A \times B = \{ (x,y) \mid x \in A \text{ ଏବଂ } y \in B \}$ $A \times B = \{ (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) \}$ ଏଠାରେ $|A|=2$ ଏବଂ $|B|=3$, ତେଣୁ $|A \times B| = 2 \times 3 = 6$। ଆମେ ପାଇଥିବା ସେଟ୍‌ରେ 6 ଟି ଉପାଦାନ ଅଛି, ଯାହା ସଠିକ୍‌।

ଉଦାହରଣ 2: ଯଦି $(x+1, 5) = (4, y-2)$ ହୁଏ, ତେବେ $x$ ଏବଂ $y$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। [[4]]

ସମାଧାନ: କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ିର ସମାନତା ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି $(a,b) = (c,d)$ ହୁଏ, ତେବେ $a=c$ ଏବଂ $b=d$ ହେବ। ତେଣୁ, ଆମେ ପାଇବା: $x+1 = 4$ $x = 4 - 1$ $x = 3$

ଏବଂ $5 = y-2$ $y = 5 + 2$ $y = 7$

ଅତଏବ, $x=3$ ଏବଂ $y=7$।