ସ୍ୱାଭାବିକ, ପୂର୍ଣ୍ଣ, ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା: ସ୍ୱାଭାବିକ, ପୂର୍ଣ୍ଣ, ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

ଉପକ୍ରମଣିକା

ମାନବ ସଭ୍ୟତାର ଅଗ୍ରଗତିରେ ସଂଖ୍ୟା ଜଗତର ଭୂମିକା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ। ଆବଶ୍ୟକତା ଦୃଷ୍ଟିରୁ ସଂଖ୍ୟା ଜଗତର ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିଲା ଏବଂ ଏହା ବିନା ଆମ ସଭ୍ୟତାକୁ କଳ୍ପନା କରିବା ଅସମ୍ଭବ। ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ପ୍ରଥମେ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ବା ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଆସିଥାଏ।

1. ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Natural Numbers)

ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଆମେ ଗଣନା କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରୁ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ବା ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ। ଏଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ $1, 2, 3, 4, 5, ...$ | ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍‌କୁ $N$ ସଂକେତ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଏହାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ: $N = \{1, 2, 3, ...\}$

ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ: ଯଦି $N$ ସେଟ୍‌ରେ $0$ (ଶୂନ) ଉପାଦାନଟିକୁ ନିଆଯାଏ, ତେବେ ଆମେ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାସେଟ୍‌ $N^*$ ପାଇଥାଉ। ଏହାକୁ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାସେଟ୍‌ $N^*$ କୁହାଯାଏ। ଉକ୍ତ ସେଟ୍‌କୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ: $N^* = \{0, 1, 2, 3, ...\}$

2. ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା (Integers)

ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ପରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଆସିଥାନ୍ତି। ସମସ୍ତ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା (Integers) ମାନଙ୍କ ସେଟ୍‌ର ସଂକେତ $Z$ ଅଟେ। ଏହାକୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ ଅର୍ଥାତ୍‌ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା, $0$ (ଶୂନ) ଏବଂ ସମସ୍ତ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍‌ ହେଉଛି $Z$। ଏଠାରେ ଉଲ୍ଲେଖଯୋଗ୍ୟ ଯେ, ଶୂନ ($0$) ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ($..., -3, -2, -1$) ଭାରତୀୟଙ୍କ ଅବଦାନ। ବ୍ରହ୍ମଗୁପ୍ତ (ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦ ୫୯୮ରେ ଜନ୍ମ) ତାଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଲିଖିତ ବ୍ରହ୍ମସିଦ୍ଧାନ୍ତ ପୁସ୍ତକରେ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା କଥା ଉଲ୍ଲେଖ କରିଛନ୍ତି।

3. ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Rational Numbers)

ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ $Z$ ର ସଂପ୍ରସାରଣ ହେତୁ ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Rational Numbers) ସେଟ୍‌ର ସୃଷ୍ଟି। ଯେକୌଣସି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟାପକ ରୂପ $\frac{p}{q}$ ଅଟେ, ଯେଉଁଠାରେ $p$ ଓ $q$ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $q \ne 0$। ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ର ସଂକେତ $Q$ ଅଟେ ଏବଂ ଏହାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ: $Q = \{\frac{p}{q} : p, q \in Z, q \ne 0 \}$

ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ସ୍ଥାପନ (Representation on the Number Line)

ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ଆମେ ଏକ ସଂଖ୍ୟାରେଖା ବ୍ୟବହାର କରୁ। ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁକୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ (Origin) $0$ ଭାବରେ ନିଆଯାଏ। $0$ ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଧନାତ୍ମକ ଦିଗ (positive side) ଓ ଏହାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଋଣାତ୍ମକ ଦିଗ (negative side) କୁହାଯାଏ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏକକ ଦୂରତାରେ ବିନ୍ଦୁମାନ ସ୍ଥାପନ କରି ଆମେ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ଦର୍ଶାଇ ପାରିବା। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $0$ ରୁ ଧନ ଦିଗରେ ଏକ ଏକକ ଦୂରତାରେ $1$, ଦୁଇ ଏକକ ଦୂରତାରେ $2$ ଇତ୍ୟାଦି। ସେହିପରି ଋଣ ଦିଗରେ $-1, -2$ ଇତ୍ୟାଦି। ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଯେପରିକି $\frac{1}{2}$ କୁ $0$ ଓ $1$ ମଧ୍ୟରେ ସ୍ଥାପନ କରାଯାଇଥାଏ।

ଉଦାହରଣ:

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରକାର ଅନୁଯାୟୀ ଶ୍ରେଣୀଭୁକ୍ତ କରନ୍ତୁ: $5, -7, 0, \frac{3}{4}, -\frac{2}{5}, 100$

ସମାଧାନ:

• ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ($N$): $5, 100$
• ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ($N^*$): $0, 5, 100$
• ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ($Z$): $-7, 0, 5, 100$
• ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ($Q$): $5 (=\frac{5}{1}), -7 (=\frac{-7}{1}), 0 (=\frac{0}{1}), \frac{3}{4}, -\frac{2}{5}, 100 (=\frac{100}{1})$