ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Irrational Numbers)

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ବିଷୟରେ ଜାଣିଛେ। ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ $\frac{p}{q}$ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରିହୁଏ, ଯେଉଁଠାରେ $p$ ଓ $q$ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $q \ne 0$। ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଦଶମିକ ପ୍ରସାରଣ ସସୀମ (terminating) କିମ୍ବା ଅସୀମ ଓ ପୌନଃପୁନିକ (non-terminating and recurring) ହୋଇଥାଏ। ମାତ୍ର କିଛି ସଂଖ୍ୟା ଅଛନ୍ତି ଯାହାକୁ ଏହି ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରିହୁଏ ନାହିଁ। ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ।

ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଦଶମିକ ରୂପ ଅସୀମ (non-terminating) ଏବଂ ଅଣ-ପୌନଃପୁନିକ (non-recurring) ହୋଇଥାଏ।

ଉଦାହରଣ:

• $0.202002000200002000002....$
• $-1.118111811118111118111111811111118......$
• $7.121122111222111122221111122222......$

କେବଳ ବର୍ଗମୂଳ (ଯଥା: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$) ଜରିଆରେ ଯେ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମିଳେ ତାହା ନୁହେଁ। ସମୀକରଣ $x^2 = 2$, $x^3 = 2$ ଇତ୍ୟାଦି ସମାଧାନ କରି $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{2}$ ଇତ୍ୟାଦି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇପାରିବା। ମନେରଖ, ଯଦି $p$ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ, ତେବେ $\sqrt{p}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।

ଉପପାଦ୍ୟ-1: $\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।

(ବିରୋଧାଭାଷ ପଦ୍ଧତିର ପ୍ରୟୋଗରେ ପ୍ରମାଣ)

ପ୍ରମାଣ: ମନେକର, $\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ତେଣୁ, $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ (ଯେଉଁଠାରେ $p, q \in Z$, $q \ne 0$ ଏବଂ $p$ ଓ $q$ ମଧ୍ୟରେ $1$ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ, ଅର୍ଥାତ୍ $p$ ଓ $q$ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ)।

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗ ନେଲେ: $2 = \frac{p^2}{q^2}$ $2q^2 = p^2$ (i)

(i) ରୁ, $p^2$ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। ଯଦି $p^2$ ଯୁଗ୍ମ, ତେବେ $p$ ମଧ୍ୟ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। ମନେକର $p = 2n$ (ଯେଉଁଠାରେ $n$ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା)।

(i) ରେ $p = 2n$ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2q^2 = (2n)^2$ $2q^2 = 4n^2$ $q^2 = 2n^2$

ଏଠାରୁ, $q^2$ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। ଯଦି $q^2$ ଯୁଗ୍ମ, ତେବେ $q$ ମଧ୍ୟ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।

ତେଣୁ, $p$ ଏବଂ $q$ ଉଭୟ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। ଏହାର ଅର୍ଥ $p$ ଓ $q$ ମଧ୍ୟରେ $2$ ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ। ମାତ୍ର ଏହା ଆମର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଧାରଣା ($\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ ରେ $p$ ଓ $q$ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ) ର ବିରୋଧାଭାଷ।

ଅତଏବ, ଆମର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଧାରଣା ମିଥ୍ୟା। ତେଣୁ, $\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ, ବରଂ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା।

ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା $\pi$ (Pi)

$\pi$ ସଂଖ୍ୟା ସହ ତୁମେମାନେ ଜ୍ୟାମିତିରେ ପରିଚିତ। ଏହା ବୃତ୍ତ ସହ ଓତପ୍ରୋତ ଭାବେ ସମ୍ପର୍କିତ। ଏହାର ସଂଜ୍ଞା ହେଲା: ଯେକୌଣସି ବୃତ୍ତରେ ପରିଧି ଓ ବ୍ୟାସର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ ଏକ ଧୁବକ ସଂଖ୍ୟା, ଯାହାକୁ $\pi$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। $\pi = \frac{\text{ବୃତ୍ତର ପରିଧ}}{\text{ବ୍ୟାସ}}$ ୧୭୬୧ ମସିହାରେ ଗଣିତଜ୍ଞ Lambert ପ୍ରମାଣ କରିଥିଲେ ଯେ $\pi$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ମନେରଖ, $\pi \ne \frac{22}{7}$। $\frac{22}{7}$ ହେଉଛି $\pi$ ର ଏକ ଆସନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ, ଯାହା ଦଶମିକର ଦୁଇ ସ୍ଥାନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଠିକ୍।

ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (Real Numbers)

ସମସ୍ତ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କ ସେଟ୍‌କୁ $Q'$ ସଂକେତ ଦ୍ୱାରା ଲେଖାଯାଏ। ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ $Q$ ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ $Q'$ ର ସଂଯୋଗରୁ ଯେଉଁ ନୂତନ ସେଟ୍‌ ମିଳେ ତାହାକୁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ କୁହାଯାଏ ଓ ଏହି ସେଟ୍‌ର ସଂକେତ $R$। ଅତଏବ $Q \cup Q' = R$। ଏଠାରେ $Q$ ଏବଂ $Q'$, $R$ ସେଟ୍‌ର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଉପସେଟ୍‌ ଅଟନ୍ତି। ମନେରଖ ଯେ, $Q \cap Q' = \emptyset$।

ଉଦାହରଣ-6: ଦର୍ଶାଅ ଯେ, (i) $3 + \sqrt{2}$ (ii) $3\sqrt{2}$ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ଅପରିମେୟ।

ସମାଧାନ: (i) ମନେକର $3 + \sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ସୁତରାଂ $3 + \sqrt{2} = \frac{p}{q}$, ଯେଉଁଠାରେ $p, q \in Z$ ଓ $q \ne 0$। $\sqrt{2} = \frac{p}{q} - 3$ $\sqrt{2} = \frac{p - 3q}{q}$ ଏଠାରେ $p, 3q \in Z$ ଏବଂ $q \in Z$, $q \ne 0$ ହେତୁ $\frac{p - 3q}{q}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ସୁତରାଂ, $\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ମାତ୍ର ଏହା ଉପପାଦ୍ୟ-1 ର ଏକ ବିରୋଧାଭାଷ। ଅତଏବ ଆମେ ଗ୍ରହଣ କରିଥିବା ତଥ୍ୟ $3 + \sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଗ୍ରହଣୀୟ ନୁହେଁ। ଅର୍ଥାତ୍ $3 + \sqrt{2}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା।

(ii) ମନେକର $3\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉ। ତେଣୁ $3\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, ଯେଉଁଠାରେ $p, q \in Z$ ଓ $q \ne 0$। $\sqrt{2} = \frac{p}{3q}$ ଏଠାରେ $p, 3q \in Z$ ଏବଂ $3q \ne 0$ ହେତୁ $\frac{p}{3q}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ସୁତରାଂ $\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ମାତ୍ର ଏହା ଗ୍ରହଣୀୟ ନୁହେଁ। ତେଣୁ $3\sqrt{2}$ ମଧ୍ୟ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା।