ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା: ଅପରିମେୟ ରାଶି ଓ ମୂଳଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶିତ ସଂଖ୍ୟା

ଉପକ୍ରମଣିକା

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା (Natural Numbers), ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା (Integers) ଏବଂ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Rational Numbers) ବିଷୟରେ ଜାଣିଛେ। ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (Real Numbers) ଜଗତର ଅନ୍ୟ ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଂଶ, ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Irrational Numbers) ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରିବା। ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ $Q$ ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ $Q'$ ର ସଂଯୋଗରୁ ଯେଉଁ ନୂତନ ସେଟ୍‌ ମିଳେ ତାହାକୁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ $R$ କୁହାଯାଏ। ଅତଏବ $Q \cup Q' = R$। [36]

ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କ'ଣ?

ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଦଶମିକ ରୂପ ଅସୀମ (non-terminating) ହେବ ଏବଂ ଅଣ-ପୌନଃପୁନିକ (non-recurring) ହେବ। ଅର୍ଥାତ୍, ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ $\frac{p}{q}$ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରିହେବ ନାହିଁ, ଯେଉଁଠାରେ $p$ ଓ $q$ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $q \ne 0$। [34]

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ: $0.202002000200002...$, $-1.118111811118...$ ଇତ୍ୟାଦି। [2]

ମୂଳଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶିତ ଅପରିମେୟ ରାଶି (Surds)

କେବଳ ଦଶମିକ ରୂପରେ ନୁହେଁ, କିଛି ସଂଖ୍ୟା ବର୍ଗମୂଳ (square root) କିମ୍ବା ଘନମୂଳ (cube root) ଆକାରରେ ମଧ୍ୟ ଅପରିମେୟ ହୋଇଥାନ୍ତି। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$ ଇତ୍ୟାଦି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି। [34]

ସମୀକରଣ $x^2 = 2$ କିମ୍ବା $x^3 = 2$ କୁ ସମାଧାନ କରି ଆମେ $\sqrt{2}$ କିମ୍ବା $\sqrt[3]{2}$ ପରି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇପାରିବା। [2]

$\sqrt{2}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ବୋଲି ପ୍ରମାଣ

ଆମେ ଏହାକୁ ବିରୋଧାଭାଷ (contradiction) ପଦ୍ଧତିରେ ପ୍ରମାଣ କରିବା। [34]

ପ୍ରମାଣ: ମନେକର $\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା।

1. ସୁତରାଂ, $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଠାରେ $p, q \in Z$ ଏବଂ $q \ne 0$। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, $p$ ଏବଂ $q$ ମଧ୍ୟରେ $1$ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ (ଅର୍ଥାତ୍ $p$ ଓ $q$ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ)।
2. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗ ନେଲେ: $2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow 2q^2 = p^2$।
3. ଏଥିରୁ ଜଣାପଡ଼େ ଯେ $p^2$ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। ଯଦି $p^2$ ଯୁଗ୍ମ, ତେବେ $p$ ମଧ୍ୟ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ। [34]
4. ମନେକର $p = 2n$ (ଯେଉଁଠାରେ $n$ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା)।
5. ଏହି ମୂଲ୍ୟକୁ $2q^2 = p^2$ ସମୀକରଣରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2q^2 = (2n)^2 = 4n^2 \Rightarrow q^2 = 2n^2$।
6. ଏଥିରୁ ଜଣାପଡ଼େ ଯେ $q^2$ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। ଯଦି $q^2$ ଯୁଗ୍ମ, ତେବେ $q$ ମଧ୍ୟ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ। [34]
7. ଆମେ ପାଇଲେ ଯେ $p$ ଓ $q$ ଉଭୟ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି $p$ ଓ $q$ ମଧ୍ୟରେ $2$ ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ।
8. ମାତ୍ର ଏହା ଆମର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଧାରଣା ($p$ ଓ $q$ ମଧ୍ୟରେ $1$ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ) ର ବିରୋଧାଭାଷ। [34]
9. ଅତଏବ, ଆମର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଧାରଣା ଯେ $\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା, ତାହା ଭୁଲ୍। ତେଣୁ $\sqrt{2}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। (ପ୍ରମାଣିତ) [34]

ଉଦାହରଣ: $3 + \sqrt{2}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

ସମାଧାନ: ମନେକର $3 + \sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା।

1. ସୁତରାଂ $3 + \sqrt{2} = \frac{p}{q}$, ଯେଉଁଠାରେ $p, q \in Z$ ଏବଂ $q \ne 0$। [2]
2. ଏହାକୁ ପୁନର୍ଲିଖନ କଲେ: $\sqrt{2} = \frac{p}{q} - 3 = \frac{p - 3q}{q}$।
3. ଯେହେତୁ $p, q, 3$ ସମସ୍ତେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା, ତେଣୁ $p - 3q$ ମଧ୍ୟ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ହେବ। $q$ ମଧ୍ୟ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $q \ne 0$।
4. ତେଣୁ, $\frac{p - 3q}{q}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ଏହା ଅର୍ଥ କରେ ଯେ $\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। [2]
5. ମାତ୍ର ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରମାଣ କରିଛୁ ଯେ $\sqrt{2}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ଏହା ଏକ ବିରୋଧାଭାଷ। [2]
6. ଅତଏବ, ଆମର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଧାରଣା ଯେ $3 + \sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା, ତାହା ଭୁଲ୍। ତେଣୁ $3 + \sqrt{2}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। [2]

ମନେରଖ: $\pi$ (ପାଇ) ମଧ୍ୟ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ଏହାର ଆସନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ $\frac{22}{7}$ କିମ୍ବା $3.14$ ହେଲେ ମଧ୍ୟ, ଏହା ଏକ ଅସୀମ ଓ ଅଣ-ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ପ୍ରସାରଣ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା। [2]