ବହୁପଦୀୟ: ଘାତ ଓ ବର୍ଗୀକରଣ

ବହୁପଦୀୟ: ଘାତ ଓ ବର୍ଗୀକରଣ

ଉପକ୍ରମଣିକା

ଅଷ୍ଟମ ଶ୍ରେଣୀରେ ତୁମେମାନେ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଏବଂ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ ସମ୍ପର୍କରେ ସମ୍ୟକ୍ ଧାରଣା ପାଇଛ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ (Degree) ଏବଂ ଏହାର ବର୍ଗୀକରଣ (Classification) ବିଷୟରେ ବିସ୍ତୃତ ଭାବରେ ଆଲୋଚନା କରିବା। [2]

ମନୋମିଆଲ୍ (Monomial)

ଯଦି $a$ ($a \ne 0$) ଏକ ଧ୍ରୁବକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା, $x$ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଏବଂ $n$ ଏକ ଅଣରଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୁଏ, ତେବେ $ax^n$ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ $x$ ରେ $n$ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ମନୋମିଆଲ୍‌ କୁହାଯାଏ। ଏଠାରେ $a$ କୁ ମନୋମିଆଲ୍‌ର ସହଗ (Coefficient) କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ: $3x^2$, $2x^4$, $-7x^6$ ଇତ୍ୟାଦି। [2]

ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ (Degree of the Monomial): କୌଣସି ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଘାତାଙ୍କକୁ ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ କୁହାଯାଏ। ଯଥା: $x$, $2x$, $\sqrt{3}x$ ଇତ୍ୟାଦି ଏକଘାତୀ ମନୋମିଆଲ୍‌। $5x^2$, $-6x^3$, $3x^4$, $2\sqrt{2}x^5$ ଯଥାକ୍ରମେ ଦ୍ୱିଘାତୀ, ତ୍ରିଘାତୀ, ଚତୁର୍ଘାତୀ, ପଞ୍ଚଘାତୀ ମନୋମିଆଲ୍‌ ଅଟନ୍ତି। $1, 5, 3, -2, \sqrt{3}$ ଇତ୍ୟାଦି ଶୂନଘାତୀ ମନୋମିଆଲ୍‌ କାରଣ ଏଗୁଡ଼ିକୁ $1x^0, 5x^0$ ରୂପରେ ଲେଖାଯାଇପାରେ। [2]

ଶୂନ ମନୋମିଆଲ୍‌ (Zero Monomials): ସଂଖ୍ୟା $0$ କୁ ଶୂନ ମନୋମିଆଲ୍‌ କୁହାଯାଏ। ଏହାର ଘାତ ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ। [3]

ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Polynomial)

କୌଣସି ଏକପଦୀ କିମ୍ବା ବହୁପଦୀ ପରିପ୍ରକାଶର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ଯଦି ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ମନୋମିଆଲ୍‌ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ଉକ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ କୁହାଯାଏ। ଯଥା: $2+3x-4x^2$, $14x^3$, $3x^{100}$ ଇତ୍ୟାଦି ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ ଅଟନ୍ତି। ଗୋଟିଏ ମନୋମିଆଲ୍‌ ମଧ୍ୟ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ ଅଟେ। [3]

$x$ ରେ ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ $p(x)$ ର ବ୍ୟାପକ ପରିପ୍ରକାଶ ହେଉଛି: $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$ | ଏଠାରେ $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ($a_n \ne 0$), $n$ ଏକ ଅଣରଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଓ $x$ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି। [3]

Standard Form: ଗୋଟିଏ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ ଲେଖିଲାବେଳେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିରେ ଥିବା ଘାତାଙ୍କକୁ ବଡ଼ରୁ ସାନ କ୍ରମରେ ଲେଖାଯାଏ। ଏହି କ୍ରମ ଲିଖନକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର Standard Form କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $x-2x^2+3x^3+1$ ର Standard Form ହେଉଛି $3x^3-2x^2+x+1$ ବା $1+x-2x^2+3x^3$ (ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ)। [1]

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ବର୍ଗୀକରଣ

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌କୁ ମୁଖ୍ୟତଃ ଦୁଇ ପ୍ରକାରରେ ବର୍ଗୀକରଣ କରାଯାଏ:

1. ପଦସଂଖ୍ୟା ଅନୁସାରେ ବର୍ଗୀକରଣ

ଗୋଟିଏ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ପଦସଂଖ୍ୟା ଅନୁସାରେ ତା'ର ନାମକରଣ କରାଯାଏ। [1]

• ଏକପଦୀ (Monomial): ପଦସଂଖ୍ୟା $1$ ଥିଲେ। ଉଦାହରଣ: $4x$।
• ଦ୍ୱିପଦୀ (Binomial): ପଦସଂଖ୍ୟା $2$ ଥିଲେ। ଉଦାହରଣ: $x^2-5$।
• ତ୍ରିପଦୀ (Trinomial): ପଦସଂଖ୍ୟା $3$ ଥିଲେ। ଉଦାହରଣ: $4-6x+7x^2$।

2. ଘାତ ଅନୁସାରେ ବର୍ଗୀକରଣ

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ରେ ଥିବା ଚଳରାଶି ($x$) ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ କୁହାଯାଏ। [1]

• ଏକଘାତୀ (Linear): ଘାତ $1$ ଥିଲେ। ଉଦାହରଣ: $2x-3$।
• ଦ୍ୱିଘାତୀ (Quadratic): ଘାତ $2$ ଥିଲେ। ଉଦାହରଣ: $x^2+2x+3$।
• ତ୍ରିଘାତୀ (Cubic): ଘାତ $3$ ଥିଲେ। ଉଦାହରଣ: $2x^3-x^2+7$।
• ଚତୁଃଘାତୀ (Biquadratic ବା Quartic): ଘାତ $4$ ଥିଲେ। ଉଦାହରଣ: $3-2x+2x^2-x^4$।

ଏକାଧିକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Polynomial in more than one variable)

ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ସମସ୍ତ ଧାରଣା ଦୁଇ ବା ତତୋଧିକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌କୁ ମଧ୍ୟ ସମ୍ପ୍ରସାରିତ କରାଯାଇପାରେ। [1]

• ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ: ଗୋଟିଏ ମନୋମିଆଲ୍‌ରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିରେ ଥିବା ଘାତାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟିକୁ ଉକ୍ତ ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ କୁହାଯାଏ। ଯଥା: $5x^2y^3$ ର ଘାତ = $x$ ର ଘାତାଙ୍କ + $y$ ର ଘାତାଙ୍କ = $2+3=5$। [1]
• ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ: ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ ସ୍ଥିର କରିବାକୁ ହେଲେ, ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦଗୁଡ଼ିକର ଘାତ ସ୍ଥିର କରିବାକୁ ପଡ଼େ। ସ୍ଥିରୀକୃତ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ ହେବ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ। [1]

ସଂକେତ: $x$ ଓ $y$ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌କୁ ସାଧାରଣତଃ $p(x,y)$, $q(x,y)$ ଇତ୍ୟାଦି ସଂକେତ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଥାଏ। [4]

ଉଦାହରଣ

ଉଦାହରଣ 1: ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ $3-2x+2x^2-x^4$ ର ଘାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଓ ଏହାକୁ Standard Form ରେ ଲେଖ।

ସମାଧାନ:

• ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $3$, $-2x$, $2x^2$, $-x^4$।
• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ଘାତ: $3$ ($x^0$) ର ଘାତ $0$, $-2x$ ($x^1$) ର ଘାତ $1$, $2x^2$ ର ଘାତ $2$, $-x^4$ ର ଘାତ $4$।
• ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ ହେଉଛି $4$। ତେଣୁ, ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ ହେଉଛି $4$। [1]
• Standard Form (ଘାତାଙ୍କର ଅବରୋହୀ କ୍ରମରେ): $-x^4+2x^2-2x+3$। [1]

ଉଦାହରଣ 2: ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ $x+xy+xy^2$ ର ଘାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ:

• ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $x$, $xy$, $xy^2$।
• ପ୍ରଥମ ପଦ $x$ ର ଘାତ = $1$।
• ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦ $xy$ ର ଘାତ = $1+1=2$। [1]
• ତୃତୀୟ ପଦ $xy^2$ ର ଘାତ = $1+2=3$। [1]
• ସମସ୍ତ ପଦମାନଙ୍କ ଘାତ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ ହେଉଛି $3$। ତେଣୁ, ପ୍ରଦତ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ ହେଉଛି $3$। [1]