ବହୁପଦୀୟର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ

ବହୁପଦୀୟର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ (Zeroes of a Polynomial)

ପୂର୍ବରୁ ତୁମେମାନେ ବହୁପଦୀୟ (Polynomial) ସମ୍ପର୍କରେ ଜାଣିଛ, ଯାହା ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକାରର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଅଟେ। ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି $x$ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁପଦୀୟକୁ ପ୍ରାୟତଃ $p(x)$, $q(x)$ ଇତ୍ୟାଦି ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। ଏହାର ବ୍ୟାପକ ପରିପ୍ରକାଶ ହେଉଛି $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$, ଯେଉଁଠାରେ $a_i$ ଗୁଡ଼ିକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $n$ ଏକ ଅଣଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା। [[2]], [[3]]

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନର ସଂଜ୍ଞା (Definition of a Zero)

ଯଦି $p(x)$ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ହୁଏ ଏବଂ 'a' ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ, ତେବେ ଯଦି $p(a) = 0$ ହୁଏ, ତେବେ 'a' କୁ $p(x)$ ର ଏକ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ (zero) କୁହାଯାଏ। ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ, $x$ ର ଯେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ବହୁପଦୀୟର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମୂଲ୍ୟ ଶୂନ୍ୟ ହୁଏ, ତାହାକୁ ସେହି ବହୁପଦୀୟର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ କୁହାଯାଏ।

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ (Finding Zeroes)

ବହୁପଦୀୟର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ $p(x) = 0$ ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିଥାଉ।

• ରୈଖିକ ବହୁପଦୀୟ ପାଇଁ (For Linear Polynomials): ଯଦି $p(x) = ax + b$ ($a e 0$) ଏକ ରୈଖିକ ବହୁପଦୀୟ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଆମେ $ax + b = 0$ ସ୍ଥିର କରୁ। ଏଥିରୁ x = -rac{b}{a} ମିଳେ। ତେଣୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ରୈଖିକ ବହୁପଦୀୟର ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ଥାଏ।

• ଉଚ୍ଚ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁପଦୀୟ ପାଇଁ (For Higher Degree Polynomials): ଉଚ୍ଚ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁପଦୀୟର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଆମେ ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ (Remainder Theorem) ଏବଂ ଉପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ (Factor Theorem) ର ସାହାଯ୍ୟ ନେଇଥାଉ।

  ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ: ଯଦି $p(x)$ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର ଘାତ 1 ରୁ ଅଧିକ ହୁଏ, ତେବେ $p(x)$ କୁ $(x-a)$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ, ଭାଗଶେଷ $p(a)$ ହେବ। [[7]]

  ଉପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ: ଏହା ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟର ଏକ ସିଧାସଳଖ ପରିଣାମ।

  1. ଯଦି $p(a) = 0$ ହୁଏ, ତେବେ $(x-a)$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଏକ ଉପାଦକ।
  2. ଯଦି $(x-a)$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଏକ ଉପାଦକ, ତେବେ $p(a) = 0$ ହେବ।

  ଏହି ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଯଦି $p(a)=0$ ହୁଏ, ତେବେ 'a' ହେଉଛି $p(x)$ ର ଏକ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ।

ଉଦାହରଣ:

ଉଦାହରଣ 1: ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ। ଦର୍ଶାନ୍ତୁ ଯେ, $1$, $-1$ ଓ $3$ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ $p(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ ର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ଅଟନ୍ତି। [[1]] (ପ୍ରଶ୍ନ 12)

ସମାଧାନ:

• $x=1$ ପାଇଁ: $p(1) = (1)^3 - 3(1)^2 - (1) + 3 = 1 - 3(1) - 1 + 3 = 1 - 3 - 1 + 3 = 0$ ଯେହେତୁ $p(1) = 0$, ତେଣୁ $1$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଏକ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ।

• $x=-1$ ପାଇଁ: $p(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) + 3 = -1 - 3(1) + 1 + 3 = -1 - 3 + 1 + 3 = 0$ ଯେହେତୁ $p(-1) = 0$, ତେଣୁ $-1$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଏକ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ।

• $x=3$ ପାଇଁ: $p(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - (3) + 3 = 27 - 3(9) - 3 + 3 = 27 - 27 - 3 + 3 = 0$ ଯେହେତୁ $p(3) = 0$, ତେଣୁ $3$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଏକ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ।

ଉଦାହରଣ 2: ଅଜଣା ଧ୍ରୁବକର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। ଯଦି $(x-1)$, $p(x) = x^2 + kx + 1$ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଉପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ $k$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। [[1]] (ପ୍ରଶ୍ନ 6 ସଦୃଶ)

ସମାଧାନ: ଉପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଯଦି $(x-1)$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଏକ ଉପାଦକ, ତେବେ $x=1$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଏକ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ। ଅତଏବ, $p(1) = 0$ ହେବ।

$p(1) = (1)^2 + k(1) + 1 = 0$ $1 + k + 1 = 0$ $k + 2 = 0$ $k = -2$

ତେଣୁ, $k$ ର ମୂଲ୍ୟ $-2$ ଅଟେ।