ବୀଜଗାଣିତିକ ଅଭେଦ

ପରିଚୟ

ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ (Algebraic Expressions) ସମ୍ପର୍କରେ ତୁମେମାନେ ପୂର୍ବରୁ ଅବଗତ ଅଛ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ କେତେକ ନୂତନ ବୀଜଗାଣିତିକ ଅଭେଦ (Algebraic Identities) ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରିବା ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରୟୋଗରେ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Factorisation) କିପରି କରାଯାଏ ତାହା ଜାଣିବା। ଅଭେଦ ହେଉଛି ଏକ ସମୀକରଣ ଯାହା ଚଳରାଶିର ସମସ୍ତ ମାନ ପାଇଁ ସତ୍ୟ ହୋଇଥାଏ। ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀରେ ଆମେ $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ ଏବଂ $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ଭଳି କେତେକ ଅଭେଦ ବିଷୟରେ ଜାଣିଛେ। ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ଉଚ୍ଚତର ଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ ପାଇଁ କିଛି ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଭେଦ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା।

ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ବୀଜଗାଣିତିକ ଅଭେଦ

ନିମ୍ନରେ କେତେକ ମୁଖ୍ୟ ବୀଜଗାଣିତିକ ଅଭେଦ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରମାଣ ଦିଆଗଲା:

ଅଭେଦ - 1: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

କିମ୍ବା $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

ପ୍ରମାଣ: ବାମପକ୍ଷ = $(a+b)^3 = (a+b)^2 \times (a+b)$ ଆମେ ଜାଣିଛେ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ତେଣୁ, $(a^2 + 2ab + b^2)(a+b)$ $= a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$ (ବଣ୍ଟନ ନିୟମ) $= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$ $= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $= a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ (ଦକ୍ଷିଣ ପକ୍ଷ)

ଅଭେଦ - 2: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

କିମ୍ବା $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$

ପ୍ରମାଣ: ଅଭେଦ - 1 ରୁ, ଆମେ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ ପାଇଛେ। ଏଠାରେ $b$ ପରିବର୍ତ୍ତେ $-b$ ଲେଖିଲେ ପାଇବା: $(a+(-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3$ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ $= a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$ (ଦକ୍ଷିଣ ପକ୍ଷ)

ଅଭେଦ - 3: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

ପ୍ରମାଣ: ଅଭେଦ - 1 ରୁ ଆମେ ଜାଣିଛେ: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ ଏହାକୁ ପକ୍ଷାନ୍ତରଣ କଲେ: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ $= (a+b)\{(a+b)^2 - 3ab\}$ $= (a+b)(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab)$ $= (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ (ଦକ୍ଷିଣ ପକ୍ଷ)

ଅଭେଦ - 4: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

ପ୍ରମାଣ: ଅଭେଦ - 3 ରୁ ଆମେ ପାଇଛେ: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ ଏଠାରେ $b$ ପରିବର୍ତ୍ତେ $-b$ ଲେଖିଲେ ପାଇବା: $a^3 + (-b)^3 = (a+(-b))(a^2 - a(-b) + (-b)^2)$ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ (ଦକ୍ଷିଣ ପକ୍ଷ)

ଅଭେଦ - 5: $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$

ପ୍ରମାଣ: ବାମପକ୍ଷ = $a^4 + a^2b^2 + b^4$ $= a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2$ (ଏକ $a^2b^2$ ଯୋଗ ଓ ବିୟୋଗ କରି) $= (a^2)^2 + 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 - (ab)^2$ ଏହା $(X+Y)^2 - Z^2$ ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ $X=a^2$, $Y=b^2$, $Z=ab$। ଆମେ ଜାଣିଛେ $X^2 - Z^2 = (X+Z)(X-Z)$ $= (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$ $= (a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)$ $= (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$ (ଦକ୍ଷିଣ ପକ୍ଷ)

ଉଦାହରଣ

1. $(2x+3y)^3$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ସମାଧାନ: ଅଭେଦ - 1, $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା। ଏଠାରେ $a=2x$ ଏବଂ $b=3y$। $(2x+3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3$ $= 8x^3 + 3(4x^2)(3y) + 3(2x)(9y^2) + 27y^3$ $= 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$

2. $8x^3 + 27y^3$ ର ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ସମାଧାନ: ଏହାକୁ $a^3+b^3$ ରୂପରେ ଲେଖିବା। $8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3$ ଅଭେଦ - 3, $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା। ଏଠାରେ $a=2x$ ଏବଂ $b=3y$। $(2x)^3 + (3y)^3 = (2x+3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2)$ $= (2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)