ଦ୍ୱିଘାତୀ ସମୀକରଣ (ଗୁଣନୀକରଣ)

ଦ୍ୱିଘାତୀ ସମୀକରଣ (ଗୁଣନୀକରଣ)

ପ୍ରସ୍ତାବନା: ପୂର୍ବ ଅଧ୍ୟାୟରେ ତୁମେମାନେ ଦ୍ୱିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ଜାଣିଛ [[3]]। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ପଦ୍ଧତିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କିପରି କରିବା ତାହା ଶିଖିବା।

ଦ୍ୱିଘାତୀ ସମୀକରଣ କ'ଣ?

ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ କୌଣସି ସମୀକରଣର ପଦମାନଙ୍କରେ ଥିବା ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 2 ହେଲେ ସମୀକରଣଟିକୁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ (Quadratic equation) କୁହାଯାଏ [[1]]। ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ବ୍ୟାପକ ରୂପ ହେଉଛି $ax^2 + bx + c = 0$, ଯେଉଁଠାରେ $a, b, c \in R$ (ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା) ଏବଂ $a \ne 0$ [[1]]। ଏହି ସମୀକରଣରେ $a$ ଓ $b$ କୁ ଯଥାକ୍ରମେ $x^2$ ଓ $x$ ର ସହଗ (coefficient) ଏବଂ $c$ କୁ ସମୀକରଣର ଧ୍ରୁବକ ପଦ (constant term) କୁହାଯାଏ [[1]]।

ସମୀକରଣର ମୂଳ ବା ବୀଜ (Roots of an Equation)

ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନର ଅର୍ଥ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି $x$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା [[1]]। ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଯେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହେବ, ସେହି ମାନଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକରଣର ମୂଳ ବା ବୀଜ (root) କୁହାଯାଏ [[1]]। ଗୋଟିଏ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର କେବଳ ଦୁଇଟି ବୀଜ ଥାଏ [[1]]। ପ୍ରତ୍ୟେକ ବୀଜ ଦ୍ୱାରା ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ [[1]]। ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ $p(x)$ ର ଜିରୋ (zero) ହେଉଛି ସେହି ସଂଖ୍ୟା 'c' ଯେଉଁଠାରେ $p(c) = 0$ ହୁଏ [[6]]।

ଗୁଣନୀକରଣ ପଦ୍ଧତିରେ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ

ଗୁଣନୀକରଣ ପଦ୍ଧତିରେ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ $ax^2 + bx + c = 0$ ର ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡ଼ିକୁ ଅନୁସରଣ କରାଯାଏ:

1. ସମୀକରଣର ସମସ୍ତ ପଦକୁ ବାମପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଆଣି $ax^2 + bx + c = 0$ ରୂପରେ ଲେଖ [[1]]।
2. ବାମପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଦ୍ୱିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ $ax^2 + bx + c$ କୁ ଦୁଇଟି ଏକଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଗୁଣଫଳ ରୂପରେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର [[1]]। ଅର୍ଥାତ୍, ଯଦି $ax^2 + bx + c = (Ex+F)(Gx+H)$ ହୁଏ [[2]]।
3. ଯଦି ଦୁଇଟି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $X$ ଓ $Y$ ର ଗୁଣଫଳ $XY = 0$ ହୁଏ, ତେବେ $X = 0$ ବା $Y = 0$ ହୁଏ [[2]]। ଏହି ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏକଘାତୀ ଉତ୍ପାଦକକୁ ଶୂନ ସହ ସମାନ କର। ଅର୍ଥାତ୍, $(Ex+F) = 0$ ବା $(Gx+H) = 0$ [[2]]।
4. ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରି $x$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ଏହି ମାନଗୁଡ଼ିକ ହିଁ ଦତ୍ତ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ବୀଜ ହେବ [[2]]।

ଉଦାହରଣ - 1:

ସମାଧାନ କର: $x^2 - 5x + 4 = 0$ [[2]] ସମାଧାନ: $x^2 - 5x + 4 = 0$ $x^2 - 4x - x + 4 = 0$ (ମଧ୍ୟପଦ ବିଭାଜନ) $x(x - 4) - 1(x - 4) = 0$ $(x - 4)(x - 1) = 0$ ଏଠାରେ, $(x - 4) = 0$ ଅଥବା $(x - 1) = 0$ [[2]] ଯଦି $x - 4 = 0$, ତେବେ $x = 4$ ଯଦି $x - 1 = 0$, ତେବେ $x = 1$ ଅତଏବ, ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ୱୟ ହେଲେ $4$ ଏବଂ $1$ [[2]]।

ଉଦାହରଣ - 2:

ସମାଧାନ କର: $3x^2 - 12 = 0$ [[2]] ସମାଧାନ: $3x^2 - 12 = 0$ $3(x^2 - 4) = 0$ (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $3$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି) $x^2 - 4 = 0$ $(x + 2)(x - 2) = 0$ ($a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ଅଭେଦ ପ୍ରୟୋଗ କରି) ଏଠାରେ, $x + 2 = 0$ କିମ୍ବା $x - 2 = 0$ [[2]] ଯଦି $x + 2 = 0$, ତେବେ $x = -2$ ଯଦି $x - 2 = 0$, ତେବେ $x = 2$ ଅତଏବ, ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ୱୟ ହେଲେ $-2$ ଏବଂ $2$ [[2]]।