କାର୍ଟେଜିଆନ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀ

କାର୍ଟେଜିଆନ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀର ପରିଚୟ

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁକୁ କିପରି ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଏ, ତାହା ଆଲୋଚନା କରିଛେ। ସରଳରେଖା ଏକ ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ (one-dimensional) ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯଥେଷ୍ଟ। ମାତ୍ର ଏକ ସମତଳ (plane) ଦୁଇ ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇଥିବାରୁ, ଏହା ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥିତିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବା ପାଇଁ ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯଥେଷ୍ଟ ନୁହେଁ। ଏଥିପାଇଁ ଆମେ କାର୍ଟେଜିଆନ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀ ବ୍ୟବହାର କରିଥାଉ।

ଅକ୍ଷଦ୍ୱୟ ଓ ମୂଳବିନ୍ଦୁ

ସମତଳରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥିତି ଚିହ୍ନଟ କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଭାବେ ଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାରେଖା X'X ଓ Y'Y ନେଇଥାଉ। X'X କୁ x-ଅକ୍ଷ (x-axis) ଓ Y'Y କୁ y-ଅକ୍ଷ (y-axis) କୁହାଯାଏ। ଏହି ଅକ୍ଷଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି, ତାହାକୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ (Origin) କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହାକୁ $O$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। ସାଧାରଣତଃ x-ଅକ୍ଷ ଆନୁଭୂମିକ (horizontal) ଓ y-ଅକ୍ଷ ଉଲମ୍ବ (vertical) ଭାବେ ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ। ଏହି ଅକ୍ଷଦ୍ୱୟକୁ ଆୟତୀୟ ଅକ୍ଷ (Rectangular axes) କୁହାଯାଏ କାରଣ ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି।

ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Coordinates)

ମନେକର $P$ ସମତଳ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ। $P$ ବିନ୍ଦୁରୁ x-ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ x-ଅକ୍ଷକୁ $M$ ବିନ୍ଦୁରେ ଏବଂ y-ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ y-ଅକ୍ଷକୁ $N$ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ। ଯଦି $M$ ଓ $N$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟର x- ଓ y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ସୂଚକ ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ $x$ ଓ $y$ ହୁଏ, ତେବେ ସମତଳରେ $P$ ବିନ୍ଦୁକୁ ସୂଚକ କରୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟକୁ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି $(x, y)$ ଭାବେ ଲେଖାଯାଏ। ଏହି $(x, y)$ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ିକୁ $P$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Coordinates) କୁହାଯାଏ।

• $x$ କୁ x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବା ଭୁଜ (Abscissa) କୁହାଯାଏ।
• $y$ କୁ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବା କୋଟି (Ordinate) କୁହାଯାଏ। ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(x, y)$ କୁ ମଧ୍ୟ $P(x, y)$ ରୂପେ ଲେଖାଯାଏ।

ପାଦ (Quadrants)

x- ଓ y-ଅକ୍ଷଦ୍ୱୟ ଦ୍ୱାରା ସମତଳଟି ଚାରିଗୋଟି ପାଦରେ ବିଭାଜିତ ହୁଏ। ଏହି ପାଦଗୁଡ଼ିକୁ $Q_1, Q_2, Q_3$ ଓ $Q_4$ ଭାବେ ଲେଖାଯାଏ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାଦରେ ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(x, y)$ ର ରୂପରେଖ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

• ପ୍ରଥମ ପାଦ ($Q_1$): $x > 0, y > 0$ (ଉଭୟ ଧନାତ୍ମକ)
• ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ ($Q_2$): $x < 0, y > 0$ (x ୠଣାତ୍ମକ, y ଧନାତ୍ମକ)
• ତୃତୀୟ ପାଦ ($Q_3$): $x < 0, y < 0$ (ଉଭୟ ୠଣାତ୍ମକ)
• ଚତୁର୍ଥ ପାଦ ($Q_4$): $x > 0, y < 0$ (x ଧନାତ୍ମକ, y ୠଣାତ୍ମକ)

ଏହାକୁ ସେଟ୍‌ ଲିଖନର ସୂତ୍ର ପ୍ରଣାଳୀ ମାଧ୍ୟମରେ ସୂଚାଇଲେ: $Q_1 = \{ (x, y) : x > 0, y > 0 \}$ $Q_2 = \{ (x, y) : x < 0, y > 0 \}$ $Q_3 = \{ (x, y) : x < 0, y < 0 \}$ $Q_4 = \{ (x, y) : x > 0, y < 0 \}$

ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ

• x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ: x-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ ହୁଏ। ଅର୍ଥାତ୍, ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(x, 0)$ ରୂପରେ ଥାଆନ୍ତି, ଯେଉଁଠାରେ $x \in R$ (ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା)। x-ଅକ୍ଷ = $\{ (x, y) | x \in R, y = 0 \}$ ଅଥବା x-ଅକ୍ଷ = $\{ (x, 0) : x \in R \}$
• y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ: y-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ ହୁଏ। ଅର୍ଥାତ୍, ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(0, y)$ ରୂପରେ ଥାଆନ୍ତି, ଯେଉଁଠାରେ $y \in R$ (ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା)। y-ଅକ୍ଷ = $\{ (x, y) | x = 0, y \in R \}$ ଅଥବା y-ଅକ୍ଷ = $\{ (0, y) : y \in R \}$
• ମୂଳବିନ୍ଦୁ: ମୂଳବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(0, 0)$ ଅଟେ। ଏହା x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷର ଛେଦବିନ୍ଦୁ।

xy-ସମତଳ

ଯେଉଁ ସମତଳରେ x- ଓ y-ଅକ୍ଷ ଅଙ୍କନ କରି ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ $(x, y)$ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ, ସେହି ସମତଳକୁ xy-ସମତଳ ବା କାର୍ଟେଜିଆନ ସମତଳ (Cartesian Plane) କୁହାଯାଏ। xy-ସମତଳର ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ସେଟ୍‌ଟି $R \times R = R^2 = \{ (x, y) | x, y \in R \}$ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ

1. ବିନ୍ଦୁ $P(3, 4)$ ର ଭୁଜ $3$ ଓ କୋଟି $4$ ଅଟେ। ଉଭୟ ଧନାତ୍ମକ ଥିବାରୁ ଏହା ପ୍ରଥମ ପାଦ ($Q_1$) ରେ ଅବସ୍ଥିତ।
2. ବିନ୍ଦୁ $P'(-3, 2)$ ର ଭୁଜ $-3$ ଓ କୋଟି $2$ ଅଟେ। x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ୠଣାତ୍ମକ ଓ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଧନାତ୍ମକ ଥିବାରୁ ଏହା ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ ($Q_2$) ରେ ଅବସ୍ଥିତ।
3. ବିନ୍ଦୁ $P''(2, -1)$ ର ଭୁଜ $2$ ଓ କୋଟି $-1$ ଅଟେ। x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଧନାତ୍ମକ ଓ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ୠଣାତ୍ମକ ଥିବାରୁ ଏହା ଚତୁର୍ଥ ପାଦ ($Q_4$) ରେ ଅବସ୍ଥିତ।
4. ବିନ୍ଦୁ $M(2, 0)$ x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ, କାରଣ ଏହାର y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ।
5. ବିନ୍ଦୁ $N(0, 3)$ y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ, କାରଣ ଏହାର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ।