ଅନୁପାତ ଏବଂ ଏହାର ଧର୍ମ

ଅନୁପାତ ଏବଂ ଏହାର ଧର୍ମ (Ratio and its properties)

6.1. ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction)

ଆମେ ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ଅନେକ ବସ୍ତୁ ବା ପଦାର୍ଥର ସଂସ୍ପର୍ଶରେ ଆସୁଛୁ। ଏକ ଜାତୀୟ ଦୁଇଟି ପଦାର୍ଥକୁ ପରିମାଣ ଦୃଷ୍ଟିରୁ ତୁଳନା କରିବା ପାଇଁ ଅନୁପାତର ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ। ଏହା କେତେ ଗୁଣ ବା କେତେ ଅଂଶ ତାହା ଦର୍ଶାଏ। ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀରେ ତୁମେମାନେ ଅନୁପାତ ସମ୍ବନ୍ଧରେ କିଛି ଜାଣିଛ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଅନୁପାତ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ଧର୍ମ ବିଷୟରେ ଅଧିକ ଆଲୋଚନା କରିବା।

6.2. ଅନୁପାତ (Ratio)

ପଦାର୍ଥଗୁଡ଼ିକର ତୁଳନାତ୍ମକ ଅର୍ଥରେ ଅନୁପାତ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ। ତୁଳନା କରିବାକୁ ହେଲେ ତୁଳନୀୟ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକ ଏକ ଜାତୀୟ ବା ଏକ ପ୍ରକାରର ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।

ସଂଜ୍ଞା: ଦୁଇଟି ରାଶିକୁ ତୁଳନା କଲେ, ପ୍ରଥମ ରାଶି ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶିର କେତେ ଗୁଣ ବା କେତେ ଅଂଶ, ଏହା ଯେଉଁ ରାଶି ବା ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱାରା ବ୍ୟକ୍ତ ହୁଏ, ତାହାକୁ ପ୍ରଥମ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶିଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଅନୁପାତ (Ratio) କୁହାଯାଏ।

ମନେକରାଯାଉ, ଗୋଟିଏ ଏକକରେ ପ୍ରକାଶିତ ରାଶି ଦୁଇଟି $a$ ଓ $b$ ଅଟେ। $a$ ରାଶି ସହ $b$ ରାଶିର ଅନୁପାତକୁ $a:b$ ବା $\frac{a}{b}$ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ। ($a:b$ କୁ $a$ ଅନୁପାତ $b$ ବା $a$ is to $b$ ବୋଲି ପଢ଼ାଯାଏ)।

$a:b$ ଅନୁପାତରେ $a$ ପ୍ରଥମ ପଦ ଏବଂ $b$ ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦ। $a$ ପ୍ରଥମ ପଦକୁ ପୂର୍ବ ପଦ (antecedent) ଓ $b$ ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦକୁ ଉତ୍ତର ପଦ (consequent) କୁହାଯାଏ।

ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ:

• ଅନୁପାତ କେବଳ ଗୋଟିଏ ରାଶି ବା ଏକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶିତ ହୁଏ। ଏହା ଏକକ ନିରେପେକ୍ଷ (Independent of unit) ରାଶି।
• କୌଣସି ଅନୁପାତରେ ପୂର୍ବ ଓ ଉତ୍ତର ରାଶିଦ୍ୱୟକୁ ଯଦି ସମାନ ଅଣଶୂନ୍ୟ (Non-Zero) ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ ବା ହରଣ କରାଯାଏ, ତାହାହେଲେ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହିବ।

ଉଦାହରଣ:

1. $30$ ମିଟର ଓ $6$ ମିଟର, ଏହି ସମଜାତୀୟ ରାଶିଦ୍ୱୟକୁ ତୁଳନା କଲେ ଦେଖାଯାଏ ଯେ, $30$ ମିଟର, $6$ ମିଟରର $5$ ଗୁଣ। ତେଣୁ $30$ ମିଟର ଓ $6$ ମିଟର ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଅନୁପାତ ହେଉଛି $\frac{30}{6}$ ବା $5:1$।
2. $25$ ପଇସା ଓ $1$ ଟଙ୍କା ବା $100$ ପଇସା ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଅନୁପାତ ହେଉଛି $\frac{25}{100}$ ବା $1:4$।

6.2.1 ବିଭିନ୍ନ ଅନୁପାତ (Different types of ratios)

• ବର୍ଗାନୁପାତ (Duplicate Ratio): $a^2:b^2$ କୁ $a:b$ ର ବର୍ଗାନୁପାତ କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $2:5$ ର ବର୍ଗାନୁପାତ $2^2:5^2$ ବା $4:25$।
• ଘନାନୁପାତ (Triplicate Ratio): $a^3:b^3$ କୁ $a:b$ ର ଘନାନୁପାତ କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $2:5$ ର ଘନାନୁପାତ $2^3:5^3$ ବା $8:125$।
• ଉପବର୍ଗାନୁପାତ କିମ୍ବା ବର୍ଗମୂଳାନୁପାତ (Subduplicate Ratio): $\sqrt{a}:\sqrt{b}$ କୁ $a:b$ ଅନୁପାତର ଉପବର୍ଗାନୁପାତ କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $4:9$ ର ଉପବର୍ଗାନୁପାତ $\sqrt{4}:\sqrt{9}$ ବା $2:3$।
• ଉପଘନାନୁପାତ କିମ୍ବା ଘନମୂଳାନୁପାତ (Sub-Triplicate Ratio): $\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}$ କୁ $a:b$ ଅନୁପାତର ଉପଘନାନୁପାତ କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $27:216$ ର ଉପଘନାନୁପାତ $\sqrt[3]{27}:\sqrt[3]{216}$ ବା $3:6$।
• ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ (Inverse Ratio): କୌଣସି ଅନୁପାତର ପୂର୍ବପଦ ଓ ଉତ୍ତର ପଦକୁ ଯଥାକ୍ରମେ ଉତ୍ତରପଦ ଓ ପୂର୍ବପଦ କରିଦେଲେ, ଯେଉଁ ନୂତନ ଅନୁପାତଟି ସୃଷ୍ଟି ହେବ, ତାହାକୁ ସେହି ଅନୁପାତର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $2:3$ ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ $3:2$ ହେବ।
• ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ (Compound Ratio): $a:b$, $c:d$, $e:f$ .... ଅନୁପାତ ଗୁଡିକର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ ହେବ $ace:...:bdf...$। ଅର୍ଥାତ୍, ସମସ୍ତ ପୂର୍ବପଦର ଗୁଣଫଳ : ସମସ୍ତ ଉତ୍ତରପଦର ଗୁଣଫଳ।

କାର୍ଯ୍ୟକାରୀ ଉଦାହରଣ: $2:3$, $3:4$, $13:9$ ଓ $5:26$ ର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ: ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ = $(2 \times 3 \times 13 \times 5) : (3 \times 4 \times 9 \times 26)$ $= 390 : 11232$ ଏହାକୁ ସରଳତମ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ: $\frac{390}{11232} = \frac{195}{5616} = \frac{65}{1872}$ ତେଣୁ ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ ହେଉଛି $65:1872$।