ପରୀକ୍ଷାଗତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ଉପକ୍ରମଣିକା

ଆମେ ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ଅନେକ ଘଟଣା ଦେଖୁ, ଯାହା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଘଟିବ କି ନାହିଁ କହିବା କଷ୍ଟକର। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଆଜି ବର୍ଷା ହେବାର ସମ୍ଭାବନା, କ୍ରିକେଟ୍ ମ୍ୟାଚ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ ଦଳ ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବନା, କିମ୍ବା ପରୀକ୍ଷାରେ ପ୍ରଥମ ସ୍ଥାନ ଅଧିକାର କରିବାର ସମ୍ଭାବନା ଇତ୍ୟାଦି। ଏହିପରି ଅନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବନାକୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ମାପ କରିବା ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ୱ (Probability Theory) ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଛି। ପ୍ରାଚୀନ କାଳରେ ଫ୍ରାନ୍ସରେ ଜୁଆ ଖେଳରେ ବାଜି ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବନା ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ଧାରଣା ବିକଶିତ ହୋଇଥିଲା। [[5]]

ପରୀକ୍ଷାଗତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (Empirical Probability)

ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା ମୁଖ୍ୟତଃ ପରୀକ୍ଷଣ (Experiments) ଏବଂ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ (Observations) ଉପରେ ଆଧାରିତ। ପ୍ରକୃତ ପରୀକ୍ଷଣ କରି ଏବଂ ସେଥିରୁ ଉଦ୍ଭବ ଫଳାଫଳର ପ୍ରକୃତ ଉପସ୍ଥାପନା କରାଯାଇ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ମାପ କରାଯାଇଥିବାରୁ ଏହାକୁ 'Empirical Probability' ବା 'ପରୀକ୍ଷାଗତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା' କୁହାଯାଏ। [[1]]

ଘଟଣା (Event)

ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଉପୁଜିଥିବା ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟକ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କୁ ବିଚାର କରିବା ଦ୍ୱାରା ଗୋଟିଏ ଘଟଣା ଉପୁଜିଥାଏ। ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍‌ କଲେ ଫଳ 'Head' (H) କିମ୍ବା 'Tail' (T) ହେବ। ଏଠାରେ H ପଡ଼ିବା ଏକ ଘଟଣା ଏବଂ T ପଡ଼ିବା ଆଉ ଏକ ଘଟଣା। [[1]]

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟର ସୂତ୍ର

ପରୀକ୍ଷାଗତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ: $P(E) = \frac{\text{ଘଟଣା E ଘଟିବାର ସଂଖ୍ୟା}}{\text{ସମୁଦାୟ ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା}}$ ଏଠାରେ $P(E)$ ହେଉଛି ଘଟଣା E ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ମୌଳିକ ଗୁଣାବଳୀ

ପରୀକ୍ଷଣରୁ ଜଣାପଡ଼େ ଯେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର କେତେକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଗୁଣ ରହିଛି:

• (i) ଯେକୌଣସି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 0 ଏବଂ 1 ମଧ୍ୟରେ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ହେବ, ଅର୍ଥାତ୍ $0 \le P(E) \le 1$।
• (ii) ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 1 ସହ ସମାନ ହେବ।
• (a) ଯଦି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଫଳ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଘଟେ, ତେବେ ଉକ୍ତ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 1 ସହ ସମାନ ହେବ।
• (b) ଯଦି କୌଣସି ଫଳ କେବେ ହିଁ ଉପୁଜି ନ ଥାଏ, ତେବେ ଏହାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଶୂନ ହେବ। [[2]]

ପରୀକ୍ଷାଗତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପ୍ରକ୍ରିୟା

ଉଦାହରଣ - 1: ମୁଦ୍ରା ଟସ୍‌

ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ 500 ଥର ଟସ୍‌ କରାଯିବାରୁ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରରେ ଫଳ ଘଟିଲା: Head (H): 260 ଥର, Tail (T): 240 ଥର। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫଳ ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର। [[2]]

ସମାଧାନ: ସମୁଦାୟ ଟସ୍‌ ସଂଖ୍ୟା = 500 Head (H) ର ବାରମ୍ବାରତା = 260 Tail (T) ର ବାରମ୍ବାରତା = 240

$P(H) = \frac{\text{H ର ବାରମ୍ବାରତା}}{\text{ଟସ୍‌ ସଂଖ୍ୟା}} = \frac{260}{500} = \frac{13}{25} = 0.52$

$P(T) = \frac{\text{T ର ବାରମ୍ବାରତା}}{\text{ଟସ୍‌ ସଂଖ୍ୟା}} = \frac{240}{500} = \frac{12}{25} = 0.48$

ଲକ୍ଷ୍ୟ କର, $P(H) + P(T) = 0.52 + 0.48 = 1$। [[2]]

ଉଦାହରଣ - 2: ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍‌

ଦୁଇଟି ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକ ସଙ୍ଗେ 500 ଥର ଟସ୍‌ କରାଯିବାରୁ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ଫଳ ମିଳିଲା: (i) ଦୁଇଟି H (HH): 105 ଥର (ii) ଗୋଟିଏ H (HT କିମ୍ବା TH): 275 ଥର (iii) କୌଣସିଟି H ନୁହେଁ (TT): 120 ଥର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫଳ ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କରି ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ସ୍ଥିର କର। [[2]]

ସମାଧାନ: ସମୁଦାୟ ଟସ୍‌ ସଂଖ୍ୟା = 500

$P(HH) = \frac{105}{500} = \frac{21}{100}$

$P(\text{HT କିମ୍ବା TH}) = \frac{275}{500} = \frac{11}{20}$

$P(TT) = \frac{120}{500} = \frac{6}{25}$

ନିରୂପିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି: $P(HH) + P(\text{HT କିମ୍ବା TH}) + P(TT) = \frac{21}{100} + \frac{11}{20} + \frac{6}{25} = \frac{21 + 55 + 24}{100} = \frac{100}{100} = 1$। [[2]]